L2-03
.doc
Электростатическое экранирование. В состоянии равновесия избыточных зарядов внутри проводника нет – вещество внутри проводника электрически нейтрально. А поэтому удаление вещества из внутренней части проводника (создание полости) поля нигде не изменит (равновесное расположение зарядов останется неизменным). Это значит, что если в полости нет электрических зарядов, то электрическое поле в ней равно нулю. Именно на этом основана электростатическая защита – экранирование тел от влияния внешних электрических полей. При таком способе защита осуществляется помещением прибора внутрь замкнутой проводящей оболочки (на практике это металлическая сетка).
Рассмотрим другой случай, когда в полости находятся заряды. Считаем, что все внешнее пространство заполнено проводящей средой. Поле в ней при равновесии равно нулю и отлично от него только внутри полости. Мысленно удалим из пространства проводящую среду, оставив только проводящую оболочку вокруг полости. При этом равновесное распределение зарядов не изменится (удаленная среда была электрически нейтральна), а значит, не изменится поле и вне оболочки – останется равным нулю. Таким образом, возможен и второй способ электростатической защиты – сам источник электрического поля помещается внутрь проводящей заземленной оболочки.
На основании предыдущих рассуждений и принципа суперпозиции можно прийти к важному заключению: замкнутая проводящая оболочка разделяет все пространство на внутреннюю и внешнюю части, в электрическом отношении совершенно независимые. Это надо понимать так: при любом перемещении зарядов внутри оболочки никаких изменений поля во внешнем пространстве не произойдет (останется неизменным также и распределения зарядов на внешней поверхности оболочки). То же относится и к полю внутри полости, и к распределению индуцированных на внутренней стенке полости зарядов – они также останутся неизменными при перемещении внешних зарядов.
Метод изображений. В рассмотренных случаях, при нахождении поля вне проводящей оболочки, был использован прием, известный как метод изображений. Это искусственный метод, позволяющий в ряде случаев рассчитать электрическое поле достаточно просто. Идея метода заключается в том, что рассматриваемая задача сводится к другой, которая решается просто и решение которой или часть его дает решение исходной задачи. В основе метода изображений лежит теорема о единственности решения уравнения Пуассона при заданных граничных условиях. С физической точки зрения это утверждение довольно очевидно: если решение не одно, то поле E неоднозначно, чего не должно быть.
Рассмотрим применение метода изображений на простом примере, когда точечный заряд q находится около безграничной проводящей плоскости (рис.). Вначале обратимся к задаче с двумя точечными зарядами q и –q. Поле этой системы известно. Совместим со средней эквипотенциальной поверхностью (ее потенциал ) проводящую плоскость. Поле вне плоскости при этом, очевидно, не изменится. Проводящую плоскость можно рассматривать как замкнутую оболочку (замыкающуюся на бесконечности), разделяющую два электрически независимых полупространства. Поэтому удаление заряда –q никак не скажется на поле в смежном полупространстве.
Итак, поле отлично от нуля только в верхнем, содержащем заряд q, полупространстве. Для вычисления этого поля достаточно ввести фиктивный заряд –q, поместив его по другую сторону проводящей плоскости на таком же расстоянии от нее, что и заряд q. Фиктивный заряд –q создает в верхнем полупространстве точно такое же поле, как и индуцированные заряды на плоскости. При этом, “действие” фиктивного заряда распространяется лишь на верхнее полупространство. В другом полупространстве поле отсутствует. Теперь можно, например, рассчитать силу взаимодействия заряда и проводящей плоскости
, где a – расстояние между зарядом и плоскостью.
Электрическая емкость. Рассмотрим систему из нескольких проводников с произвольными зарядами. Потенциал каждого из проводников зависит от всех зарядов, причем в силу принципа суперпозиции, эта зависимость должна быть линейной
, (1) где – потенциальные коэффициенты, зависящие от геометрии системы. Разрешив уравнения (1) относительно , найдем
. (2) Новые постоянные называются емкостными коэффициентами. Матрицы и взаимно обратные: , где – единичная матрица.
Емкостные (как и потенциальные) коэффициенты удовлетворяют теореме взаимности: , т.е. матрица является симметричной. Эту теорему можно доказать непосредственно, используя выражение для потенциала (1.19а). Мы ее обоснуем с помощью следующих рассуждений. При малом изменении зарядов проводников приращение энергии (см. (2.2))
. (3) Отсюда . По теореме из анализа о смешанных производных
. Откуда следует, что матрица является симметричной . Аналогично устанавливается симметричность матрицы емкостных коэффициентов .
Правую часть (3), используя симметричность коэффициентов , представим явно в виде полного дифференциала
. В результате, приходим к уже известной формуле для энергии (см. (2.9))
. В частности, для изолированного проводника .
Электрическая емкость уединенного проводника. Рассмотрим случай одного уединенного проводника, т.е. проводника, удаленного от других проводников, тел и зарядов. В этом случае имеется один емкостной коэффициент, называемый электроемкостью уединенного проводника
, (4) где q – заряд проводника, а – его потенциал (относительно бесконечности).
За единицу емкости принимают емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл. Эту единицу емкости называют фарадом (Ф), 1 Ф = 1 Кл/1 В.
Для примера найдем емкость уединенного шара радиуса R. Поле вне шара совпадает с полем точечного заряда, поэтому потенциал шара равен , где q – заряд шара. На основании формулы (4) получаем
.
Конденсаторы. Уединенный проводник не самый эффективный накопитель электрической энергии. Большей емкостью обладают конденсаторы. Так называется система двух проводников с одинаковыми по величине и противоположными по знаку зарядами. Полагая в (1) , и обозначая разность потенциалов через U (эта разность называется напряжением), получаем
. Следовательно, конденсатор характеризуется одним параметром, называемой емкостью. Емкость конденсатора определяется соотношением
(5) и измеряется в фарадах. Емкость зависит от геометрии конденсатора (размеров и формы обкладок), от зазора между ними и от заполняющей конденсатор среды.
Емкость плоского конденсатора. Этот конденсатор состоит из двух параллельных пластин, разделенных зазором d. Если заряд конденсатора q, то напряженность поля между его обкладками , где , S – площадь каждой пластины. Тогда напряжение между обкладками
. После подстановки полученного выражения в (5) получим
. (6а)
Емкость сферического конденсатора. Пусть радиусы внутренней и внешней обкладок конденсатора соответственно и , а заряд конденсатора q. Поле между обкладками совпадает с полем точечного заряда q, расположенного в центре конденсатора. Тогда, напряжение между обкладками
. Отсюда получаем, что емкость сферического конденсатора
. (6б) В случае малого зазора , полученное выражение (6б) переходит в (6а).
Емкость цилиндрического конденсатора. Напряженность поля является суперпозицией полей каждого цилиндра. Если на единицу длины цилиндра приходится заряд , а радиусы внешней и внутренней обкладок соответственно и , то напряженность поля между обкладками
. Соответственно, напряжение на конденсаторе
и емкость конденсатора
, (6в) где l – его длина.
Конденсаторы часто соединяют в батареи. Соединение может быть параллельным (рис.) или последовательным (рис.), в общем случае комбинированным. Ограничимся для простоты случаем двух конденсаторов. При параллельном соединении напряжения между обкладками обоих конденсаторов одинаковы, а заряды обкладок складываются: . Деление на общее напряжение U дает емкость батареи
. (7)
При последовательном соединении средние пластины, соединенные между собой, имеют противоположные заряды. Таким образом, заряды обоих конденсаторов одинаковы , а напряжения складываются . А так как
, , , то получаем
. (8)
Обобщение формул (7) и (8) на случай нескольких конденсаторов очевидно. Параллельное соединение применяется для увеличения емкости, последовательное –для увеличения пробойного напряжения.
Электрическое поле в диэлектрике
Поляризация диэлектрика. Вектор поляризации. Если проводимость вещества равна нулю (отсутствуют свободные заряды), то электрическое поле внутри такого вещества не компенсируется как в проводнике, но, тем не менее, как-то изменяется. Это изменение по-прежнему связано со смещением зарядов среды, но теперь это смещение очень мало. В случае неполярного диэлектрика смещение определяется деформацией атомов (электронных орбит) под действием электрического поля. В результате такой деформации у атома появляется дипольный момент. Эти наведенные дипмоменты создают дополнительное поле, изменяющее (но не компенсирующее) внешнее поле. Появление дипмоментов называется поляризацией среды. Отсюда и название такой среды – диэлектрик.
Возможны и другие механизмы поляризации диэлектрика. Молекулы вещества могут обладать собственным дипмоментом (полярный диэлектрик). В отсутствии поля собственные дипмоменты в результате теплового движения молекул ориентированы случайно, так что средний (макроскопический) дипольный момент единицы объема
(9) равен нулю (величину p называют вектором поляризации или поляризованностью) и создаваемое ими поле также равно нулю. Под действием внешнего поля дипольные моменты приобретают преимущественную ориентацию по полю, что приводит к появлению дополнительного поля. Наконец в диэлектрических кристаллах типа NaCl при включении внешнего поля ионы смещаются от своего равновесного положения: положительные ионы (Na+) по полю, отрицательные (Cl–) – против поля. Результат этого смещения аналогичен возникновению дипольных моментов.
Объемные и поверхностные поляризационные заряды. В результате поляризации на поверхности первоначально нейтрального диэлектрика, а также и в его объеме появляются нескомпенсированные заряды. Эти заряды, которые будем отмечать индексом ( ), называются поляризационными или связанными.
Заряды, которые не входят в состав диэлектрика, называются свободными или сторонними. Их будем обозначать обычным образом ( ). Сторонние заряды могут находиться как внутри, так и вне диэлектрика.
Для описания поля в диэлектрике механизм поляризации несущественен, существенно лишь то, что в среде наводятся дипольные моменты. При вычислении макроскопического поля допустимо отвлечься от дискретной природы зарядов и диполей, считать их непрерывными величинами и рассматривать диэлектрик как систему диполей. Тогда потенциал, создаваемый поляризованным диэлектриком, запишется в виде
. Здесь градиент берется по координатам точки наблюдения r. Переходя к дифференцированию по r ( ) и используя соотношение
, получим
, где использовано обозначение . Первый интеграл преобразуется в поверхностный и выражение для приобретает вид
, где интегрирование в первом интеграле проводится по поверхности диэлектрика. Поле, в конечном счете, создают заряды. Сравнивая полученную формулу с выражением для потенциала при объемном и поверхностном распределении зарядов, соответственно
, (10а) (10б) заключаем, что данные величины являются поверхностной (n – внешняя нормаль к поверхности диэлектрика) и объемной плотностью поляризационных зарядов в диэлектрике.
Непосредственно можно проверить, что при таком распределении связанных зарядов диэлектрик останется в целом нейтральным, т.е.
.
Связь между p и E. Как показывает опыт, для широкого класса диэлектриков при не слишком больших полях вектор поляризации p зависит линейно от напряженности поля E в диэлектрике. Если к тому же диэлектрик изотропный, то эту связь можно выразить формулой
, (11) где – безразмерная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью вещества. Эта величина не зависит от E и характеризует свойства самого диэлектрика.
Существуют, однако, и диэлектрики, для которых (11) не применимо. Таковыми являются, например, сегнетоэлектрики. У сегнетоэлектриков связь между p и E нелинейная и зависит, кроме того, от предыстории диэлектрика, т.е. от предшествующих значений E (это явление называют гистерезисом).
В однородном диэлектрике при отсутствии в нем свободных зарядов объемная плотность связанных зарядов . Докажем это утверждение. Подставляя в (10б) выражение для вектора поляризации (11), получим
. Так как дивергенция E согласно теореме Гаусса равна алгебраической сумме сторонних () и связанных зарядов ( ): то, находим
. Отсюда, при условии , следует . Таким образом, в изотропном диэлектрике, помещенном в электрическое поле, связанные заряды концентрируются на его поверхности.